2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика

^ 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ.

Выведем уравнение динамики для криволинейных стержней. Особенностью работы конструкции при динамическом воздействии является необходимость учесть силы инерции, связанные с относительным перемещением точки деформируемого тела. Принципно эта неувязка решается методом прибавления инерциального слагаемого 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика в правую часть уравнения равновесия, которое после добавки именуют уравнением движения. Как следует, для статических задач это слагаемое не учитываем.

Принимаем обозначения:

n – нормаль, b – бинормаль, t – касательная, F – некая сила, S 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика – параметр, имеющий смысл длины дуги и dS – сама длина дуги, r – радиус-вектор точки, U - поле перемещений (задано в разложении по подвижному векторному базису вещественного волокна: ), - удлинение, k – кривизна,  - крутка. [25], [22]




Рис. 2


Определим 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика вид системы уравнений движения стержня с пространственно кривой осью. С этой целью, запишем уравнения равновесия элемента стержня нескончаемо малой длины ds в форме предложенной Даламбером.

В последующих рассуждениях будем считать, что поле перемещений 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика, внутренние силовые причины в сечении стержня, также интенсивность наружной нагрузки q, – есть функции 2-ух переменных: дуговой координаты и времени. Производную по времени будем обозначать точкой.

Уравнение равенства нулю головного 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика вектора всех сил, действующих на элемент стержня, выходит естественным образом при суммировании внутренних сил в сечениях элемента стержня, переносных инерционных сил и наружной нагрузки, в векторной форме оно имеет вид:

. (2.1)

Разложив вектора, входящие в 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика уравнение (2.1) по собственному базису оси стержня и учтя формулы Френе-Серре, можно переписать последнее соотношение в виде системы дифференциальных уравнений:

. (2.2)

Уравнение равенства нулю головного момента всех сил формально состоит из 3-х 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика слагаемых:

, (2.3)

где:

Вид первого слагаемого очевиден:

, (2.4)

также естественным 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика представляется и третье слагаемое:

, (2.5)

где Jt, Jn, Jb – моменты инерции сечения стержня относительно осей, направленных повдоль соответственных базовых векторов.

Для выяснения природы второго слагаемого равенства (2.3) обратимся к общей записи момента некой силы F, приложенной 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика к концу элемента стержня в точке O1 (см. рис.2) относительно другого его конца – O2.

По определению момента, согласно рис.2, имеем:

. (2.6)

Представим dr* в виде суммы и удержим в разложении слагаемых только 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика выражения стоящие при первых степенях приращения дуговой координаты Ds. Таким макаром, в разложении по базису векторов трехгранника Френе, будем иметь:

. (2.7)

Раскроем правую часть последнего соотношения, используя формулы дифференцирования векторов, также правила 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика векторного умножения взаимно ортогональных базовых векторов, приведем окончательный вид равенства для вычисления момента силы F:

(2.8)

Используем приобретенное соотношение (2.8) для записи головного момента сил, относительно конца стержня O2. Сгруппировав выражения, стоящие при схожих силах, получим 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика:

(2.9)

Рассмотрев выражения стоящие в скобках при каждой силе, можно увидеть, что согласно (2.3), (2.4) и (2.5):

Выпишем систему 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика уравнений равновесия элемента стержня в скалярной форме:

(2.10)

Чтоб замкнуть приведенную систему уравнений, нужно дополнить ее геометрическими и физическими уравнениями связи меж разными параметрами напряженно-деформированного состояния стержня, как, к примеру, формулы связывающие 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика углы поворота сечения и составляющие вектора перемещений, связь продольной силы N и продольной деформации оси стержня.

Необходимо подчеркнуть, что система (2.10) имеет геометрически нелинейный вид, это обосновано тем, что уравнения системы 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика записаны делая упор на геометрию животрепещущего состояния стержня. Тем учитываются нелинейные эффекты, связанные с воздействием значимой деформации и поворотов сечения на напряженно-деформированное состояние стержня. [22], [25]

Решение такового рода задач является, само по себе, суровой 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика неувязкой механики деформируемого твердого тела, заслуживающее отдельного рассмотрения, по этому это выходит за рамки данной работы.

Представим, что перемещения и деформации стержня невелики, это позволяет линеаризовать систему уравнений, записав ее в геометрии 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика исходного состояния:

. (2.11)

Дополним систему (2.11) уравнениями связи. Кинематические соотношения уже известны, получим уравнения связи силовых и кинематических характеристик состояния, используя закон Гука и определение внутренних силовых причин как интегральных черт поля 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика напряжений в сечении стержня.

Напряжения в хоть какой точке сечения стержня можно, согласно закону Гука, записать как:

, (2.12)

подставив в это соотношение представление деформации, принимая деформацию оси стержня по линейному варианту, получим:

, (2.13)

где e – деформация 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика оси стержня:

.

Используя равенство (2.13) просто можно вычислить все внутренние силовые причины в сечении стержня по традиционным формулам:

, (2.14)

, (2.15)

, (2.16)

, (2.17)

, . (2.18)

Вычислив интегралы в равенствах (2.14) – (2.18), имеем:

(2.19)

где

Согласно введенным в прошлом параграфе догадкам можно сказать, что статические моменты и центробежный момент инерции сечения стержня равны нулю. В данном случае уравнения (2.19) воспримут более 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика обычной вид:

(2.23)

Выпишем на основании (2.23) систему уравнений, описывающих линейно-упругие связи меж обобщенными деформациями и внутренними силовыми факторами:

. (2.24)

Объединение (2.11) и (2.24) в единую систему уравнений приводит к решению поставленной цели этого раздела:

(2.25)

Тут 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика N – продольная сила, Qn, Qb – поперечные силы, Mt – вращающий момент, Mn, Mb – изгибающие моменты, u, v, w – составляющие перемещения, -углы поворота относительно основных центральных осей инерции, k – кривизна,  - крутка, ЕА – твердость, Е – модуль 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика упругости, q – нагрузка, G – модуль сдвига, It, In, Ib – моменты инерции, - инерция поворота.

Таким макаром, приобретенная система уравнений (2.25), в общем виде, может быть применена для решения задач о принужденных движения пространственно кривого 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика стержня. В данном случае ее нужно дополнить критериями на краях, также исходными критериями. [22]

Также она просто модифицируется для постановки статических задач и препядствия собственных движений методом исключения ненадобных слагаемых, постановки задач для 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика личных видов геометрии и состояний стержней, таких как, к примеру: прямой стержень, стержень, ось которого имеет неизменные кривизну и крутку и т.п.


Мы получили систему уравнений 12-ого порядка. Решать ее проблематично 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика. Но даже если она решена, то появляется неувязка – объединение стержней в единую систему. У криволинейного стержня локальная система координат определяется трехгранником Френе. Чтоб соединить два и поболее стержней в единую систему 2 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СТЕРЖНИ - 1. 1 Биомеханика, нужно уметь пересчитывать локальные координаты в глобальные, т. е. преобразовывать составляющие векторов перемещения, сил и моментов из координат, связанных с подвижным трехгранником в недвижную ДПСК.


2-obespechenie-zayavki-tendernaya-dokumentaciya-po-zakupke-uslug-po-razrabotke-i-vnedreniyu-informacionnih-sistem.html
2-obosnovanie-metodov-otneseniya-effektov-k-radiacionno-otchet-o-nauchno-issledovatelskoj-rabote-plan-niokr-fonda.html
2-obshaya-chast-pravila-sozdaniya-soderzhaniya-i-ohrani-zelenih-nasazhdenij-goroda-moskvi-o-sdache-porubochnih-ostatkov.html